Question

（12分）定义在上的函数，，当时，.且对任意的有。
（1）证明：；
（2）证明：对任意的，恒有；
（3）证明：是上的增函数；
（4）若，求的取值范围。

Answer 1

（1）令即可证明（2）分证明即可
（3）利用单调性定义即可证明（4）

解析试题分析：（1）证明：令，，又，
所以.                                                                      ……2分
（2）证明：由已知当时，，由（1）得，
故当时，成立,
当时， ，所以，
而，所以,
可得
综上：对任意的，恒有成立.                                             ……6分
（3）证明：设，则，

而，，
即，是上增函数得证。                                              ……10分
(4)由，可得，
又因为是上增函数，所以，解得，
所以：所求的取值范围.                                                     ……12分
考点：本小题主要考查抽象函数的求值，单调性，抽象不等式的求解.
点评：求解抽象函数问题，主要的方法是赋值法，证明抽象函数的单调性只能用定义，证明时要尽量化简到最简单.