Question

（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.

（1）求曲线C₁的方程；

（2）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于

点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）.

（2）当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

【解析】(1) 曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可知曲线C₁为抛物线，此方程为.

(2) 当点P在直线上运动时，设P的坐标为，又，则过P且与圆

相切的切线方程为.则

整理得

设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，

故

由得

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,

则同理由可得

这样可得,然后展开将代入化简即可得到定值.

由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.

（2）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆

相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.

于是

整理得        ①

设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，

故      ②

由得     ③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，

所以    ④

同理可得     ⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.