Question

设函数，其中为常数。

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点。

Answer 1

（Ⅰ）当时， ，函数在定义域上单调递增．

（Ⅱ）当且仅当时有极值点;

当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点

解析:

（Ⅰ）由题意知，的定义域为，    ……… 1分

   ……… 2分

∴当时， ，函数在定义域上单调递增．      ………………3分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．………… 4分

②时，有两个相同的解，

但当时,，当时，

时，函数在上无极值点．           ………………5分

③当时，有两个不同解，

时，，

而,

此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

	减	极小值	增

由此表可知：当时，有惟一极小值点，…  8分

ii)   当时，0<<1

此时，，随的变化情况如下表：

	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；              ………………………………11分

综上所述：

当且仅当时有极值点;

当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点………12分