Question

A∈平面α．AB=5，AC=2

2

，若AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成45⁰角，则BC距离的范围（　　）

• A、[

  5

  ，

  29

  ]
• B、[

  37

  ，

  61

  ]
• C、[

  5

  ，

  29

  ]
• D、[

  5

  ，

  29

  ]∪[

  37

  ，

  61

  ]

Answer 1

分析：作BD⊥α，垂足为D，作CE⊥α，垂足为E，连接AE，AD，DE，过C作CF⊥BD，垂足为F，根据AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成45⁰角，
求得AE，CE，BD，AD，设∠DAE=θ，分BC在平面α的同侧和异侧两种情况列出BC关于θ的函数式，根据0≤θ≤π，求出BC的求值范围．

解答：解：当B、C在平面α的同侧时如图作BD⊥α，垂足为D，作CE⊥α，垂足为E，连接AE，AD，DE，
过C作CF⊥BD，垂足为F，
则AD、AE分别为AB、AC在α内的射影，∴∠BAD，∠CAE分别为AB、AC与平面α所成的角，
∵AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成45⁰角，
∴AE=CE=2，BD=4，AD=3，
设∠DAE=θ，BF=4-2
∴BC=

CF2+BF2

=

4+9+4-2×2×3×cosθ

=

17-12cosθ

，
∵0≤θ≤π，∴

5

≤BC≤

29

当B、C在平面α的异侧时，BF=4+2=6，
则BC=

CF2+BF2

=

36+9+4-2×2×3×cosθ

，
∵0≤θ≤π，∴

37

≤BC≤

61

．
故选D．

点评：本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的作图能力与空间想象能力，体现了分类讨论思想与数形结合思想，正确的作出图形是解答本题的关键．