Question

（03年北京卷理）（14分）

有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）．

（Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？

（Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为

  =

所以，当时，函数取得最小值. 

答:点P的坐标是

（Ⅱ）解：记

P至三镇的最远距离为

    由解得记

于是

      

当，即时，

因为在[上是增函数，而上是减函数.

所以时,函数取得最小值. 点P的坐标是

当，即时，因为在[上当y=0函数取得最小值b，而上是减函数,且 ，所以时, 函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标是

    当时，点P的坐标是，其中