Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AA₁=2．M，N分别是C₁D₁，CC₁的中点．
（1）求异面直线A₁N与MC所成角的余弦值；
（2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．

Answer 1

解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA、DC、DD₁两两互相垂直，
∴以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系
可得D（0，0，0），A（2，0，0），A₁（2，0，2），C（0，2，0），M（0，1，2），N（0，2，1）
∴向量=（-2，2，-1），=（0，1，-2）
根据空间向量的夹角公式，得cos＜，＞==
设异面直线A₁N与MC所成角为θ
可得cosθ=|cos＜，＞|=，即异面直线A₁N与MC所成角的余弦值为；
（2）由（1）中所建立的坐标系，得
∵P为线段AD上任意一点，
∴设P（x，0，0），其中x∈[0，2]
可得=（-x，2，1）
∵=（0，1，-2），
∴•=0×（-x）+1×2+（-2）×1=0
由此可得⊥，即P为线段AD上任意一点，都有MC⊥PN成立．
分析：（1）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系．可得D、A、A₁、C、M、N各点的坐标，从而得到向量和的坐标，利用空间向量的夹角公式算出和夹角的余弦之值，即可得到异面直线A₁N与MC所成角的余弦；
（2）根据（1）所建立的坐标系，设P（x，0，0），从而得到的坐标，再求出向量的坐标，从而算得•=0，由此可得⊥，即得MC⊥PN成立．
点评：本题给出正方体棱的中点，求证直线与直线垂直并求异面直线所成角，着重考查了正方体的性质、空间垂直位置关系的证明和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．