Question

数列前项和为，首项为，满足

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在,使(其中是与自然数无关的常数),若存在,求出与的值,若不存在,说明理由;

（3）求证：为有理数的充要条件是数列中存在三项构成等比数列.

Answer 1

同下

解析:

（1）

，数列是等差数列，首项为，公差为1

--------------------------------------------------------------------------6分

（2）由，即，

整理得：，当时，该式恒成立；

即：当时，，即为所求。--------------------------------10分

（3）证明：充分性：若三个不同的项成等比数列，且，则

若，则，与矛盾，

，且都是非负整数，是有理数；----------------14分

必要性：若是有理数，且，则必存在正整数，使，令

则正项数列，是原数列的一个子数列，只要正项数列中存在三个不同的项构成等比数列则原数列中必有3个不同项构成等比数列。

不失一般性，不妨设，记

又设，且成等比数列，则

为使为整数，可令，于是

可知成等比数列。证毕----------------------------------------------------18分