Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，AN=

1

4

．
（1）求BC₁与侧面AC C₁ A₁所成角的正弦值；
（2）证明：MN⊥B C₁；
（3）求二面角C-C₁B-M的平面角的正弦值，若在△A₁B₁C₁中，

C1E

=

1

3

EA1

，

C1F

=

1

4

FB1

，

C1H

=x

C1A1

+y

C1B1

，求x+y的值．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形ABC的性质可得BM⊥AC，由正三棱柱的性质可得 C₁ C⊥BM，利用线面垂直的判定定理可得BM⊥侧面ACC₁A₁，于是∠BC₁M是所求的线面角；
（2）利用勾股定理和逆定理即可证明MN⊥MC₁，再利用（1）可得BM⊥MN，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，可得ME⊥BC．作EH⊥B C₁，连接MH，利用正三棱柱的性质和三垂线定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C₁B-M的平面角．
利用向量共线定理找出

EH

与

EB1

的关系，再利用向量的运算法则

C1H

=

C1E

+

EH

及已知条件即可得出．

解答：（1）解：在等边三角形ABC中，M为AC中点，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，BM?面ABC，∴C₁ C⊥BM，
又 C₁ C∩AC=C，BM?面ABC，
则BM⊥面 A₁ C₁CA，
∠M C₁ B为 B C₁与面 A₁ C₁CA所成角．
在 Rt△C₁CB中，B C₁=2

5

，在等边三角形ABC中，BM=

3

，
则在 R_t△M C₁ B中，sin∠M C₁ B=

BM

B C1

=

3

2 5

．
（2）连接 N C₁，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得MN2=AM2+AN2=12+(

1

4

)2=

17

16

，
同理在 Rt△M C₁ C中，C1M = 

17

 ，在 R_t△A₁ C₁ N中，C1N =

17

4

 ，
∴(MN)2+ (M C1)2=(C1N )2，则NM⊥M C₁，
又BM⊥面 A₁ C₁CA，MN?面 A₁ C₁CA，则BM⊥MN，
又 M C₁∩MB=M，∴MN⊥面 M C₁ B，
又 B C₁?面 M C₁ B，则MN⊥B C₁．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此时由于M为AC中点，则DE=EC，ME=

1

2

AD=

3

2

，且ME⊥BC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，ME?面ABC，则 C₁ C⊥ME，BC∩C₁C=C，BC，C₁ C均?面BC C₁，ME⊥面BC C₁，
作EH⊥B C₁，连接MH，由三垂线定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C₁B-M的平面角．
在△MB C₁中，由

1

2

MB×M C1= 

1

2

B C1×MH ，即

1

2

×

3

×

17

=

1

2

×2

5

×MH，MH=

3 × 17

2 5

，
在 Rt△MEH中，sin∠MHE=

ME

MH

=

85

17

．
设

EH

=m

EB1

=m(

EC1

+

C1B1)

=m(-

1

4

C1A1

+

C1B1

)，

HA1

=n

FA1

=n(

FC1

+

C1A1

)=n(-

1

5

C1B1

+

C1A1

)．
∵

EH

+

HA1

=

EA1

=

3

4

C1A1

．
∴

3

4

C1A1

=m(-

1

4

C1A1

+

C1B1

)+n(-

1

5

C1B1

+

C1A1

)，
化为(

3

4

+

m

4

-n)

C1A1

+(

n

5

-m)

C1B1

=

0

，
∴

3 4 + m 4 -n=0 n 5 -m=0

，解得

m= 3 19 n= 15 19

．
∴

C1H

=

C1E

+

EH

=

1

4

C1A1

+

3

19

EB1

=

1

4

C1A1

+

3

19

(

EC1

+

C1B1

)=

1

4

C1A1

+

3

19

(-

1

4

C1A1

+

C1B1

)=

4

19

C1A1

+

3

19

C1B1

．
∵

C1H

=x

C1A1

+y

C1B1

，
∴x+y=

7

19

．

点评：熟练掌握等边三角形的性质、正三棱柱的性质、线面垂直的判定定理、线面角的定义、勾股定理和逆定理、三垂线定理、二面角定义和作法、向量共线定理、向量的运算法则是解题的关键．