Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F1(-

5

，0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：

9x2

a2

+

y2

b2

=1，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：

9x2

2a2

+

4y2

b2

=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接DF₂，FO，由题设条件能够推导出|FF1|=

1

2

|DF1|=a-b，在Rt△FOF₁中，b²+（a-b）²=c²=5，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+

y2

4

=1，设直线l的方程为y=k（x+2），并代入x2+

y2

4

=1得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0，利用根的判别式、中点坐标公式推导出当k=0或k=

2

3

或k=-4+2

5

时，直线MN过椭圆G的顶点．
（Ⅲ）法一：由椭圆W的方程为

x2

2

+y2=1，设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），直线AC的方程为y+n=

n

2m

(x+m)，过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-

m

n

(x-m)，由此能够证明PA⊥PB．
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为

x2

2

+y2=1，设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），故kPA=

n

m

，kAC=

n

2m

，由此能够证明PA⊥PB．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）连接DF₂，FO（O为坐标原点，F₂为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为F2(

5

，0)
因为FO是△DF₁F₂的中位线，且DF₁⊥FO，
所以|DF₂|=2|FO|=2b，
所以|DF₁|=2a-|DF₂|=2a-2b，
故|FF1|=

1

2

|DF1|=a-b．…（2分）
在Rt△FOF₁中，|FO|2+|FF1|2=|F1O|2
即b²+（a-b）²=c²=5，又b²+5=a²，解得a²=9，b²=4，
所求椭圆E的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+

y2

4

=1
设直线l的方程为y=k（x+2）并代入x2+

y2

4

=1
整理得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0
由△＞0得：-

2

3

3

＜k＜

2

3

3

，…（5分）
设H（x₁，y₁），K（x₂，y₂），N（x₀，y₀）
则由中点坐标公式得：

x0= -2k2 k2+4 y0=k(x0+2)= 8k k2+4

…（6分）
①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）．…（7分）
②当k≠0时，则x₀≠0，直线MN的方程为y=

y0-1

x0

x+1
此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）；
若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则0=

y0-1

x0

+1，即x₀+y₀=1，
所以

-2k2

k2+4

+

8k

k2+4

=1，解得：k=

2

3

，k=2（舍去），…（8分）
若直线MN过椭圆G的顶点（-1，0），则0=-

y0-1

x0

+1，即x₀-y₀=-1，
所以

-2k2

k2+4

-

8k

k2+4

=-1，
解得：k=-4+2

5

，k=-4-2

5

（舍去）．…（9分）
综上，当k=0或k=

2

3

或k=-4+2

5

时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为

x2

2

+y2=1，…（11分）
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0）
则直线AC的方程为y+n=

n

2m

(x+m)，…①
过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-

m

n

(x-m)，…②
①×②并整理得：

x2

2

+y2=

m2

2

+n2，
又P在椭圆W上，所以

m2

2

+n2=1，
所以

x2

2

+y2=1，
即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为

x2

2

+y2=1
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），
∴kPA=

n

m

，kAC=

n

2m

，
所以直线AC：y=

n

2m

(x-m)

y= n 2m (x-m) x2 2 +y2=1

，
化简得(1+

n2

2m2

)x2-

n2

m

x+

n2

2

-2=0，
所以xA+xB=

2mn2

2m2+n2

，
因为x_A=-m，所以xB=

2m3+3mn2

2m2+n2

，则yB=

n

2m

xB-

n

2

=

n3

2m2+n2

．…（12分）
所以kPB=

n3 2m2+n2 -n

2m3+3mn2 2m2+n2 -m

=-

m

n

，则k_PA•k_PB=-1，故PA⊥PB．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线垂直的证明，探索满足条件的实数的取值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想和函数方程思想的合理运用．