Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

2

2

，右准线为l，M，N是l上的两个动点，

F1M

•

F2N

=0
（Ⅰ）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，

F1M

+

F2N

与

F1F2

共线．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M(

2

a，y1)，N(

2

a，y2)，根据题意由

F1M

•

F2N

=0得y1y2=-

3

2

a2＜0，由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

，

( 2 2 a)2+y22

=2

5

，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²．当且仅当y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a时，|MN|取最小值

6

2

a，由能够推导出

F1M

+

F2N

与

F1F2

共线．

解答：解：由a²-b²=c²与e=

c

a

=

2

2

，得a²=2b²，F1(-

2

2

a，0)，F2(

2

2

a，0)，l的方程为x=

2

a
设M(

2

a，y1)，N(

2

a，y2)
则

F1M

=(

3 2

2

a，y1)，

F2N

=(

2

2

a，y2)
由

F1M

•

F2N

=0得y1y2=-

3

2

a2＜0①
（Ⅰ）由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

②

( 2 2 a)2+y22

=2

5

③
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，并求得a²=4
故a=2，b=

2

2

=

2

（Ⅱ）证明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²
当且仅当y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a时，|MN|取最小值

6

2

a
此时，

F1M

+

F2N

=(

3 2

2

a，y1)+(

2

2

a，y2)=(2

2

a，y1+y2)=(2

2

a，0)=2

F1F2

故

F1M

+

F2N

与

F1F2

共线．

点评：此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．