Question

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响.设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(1)求ξ的分布列及数学期望;

(2)记“函数f(x)=x²-3ξx+1在区间［2,+∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

Answer 1

(1)解：分别设“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件A₁、A₂、A₃.由已知A₁、A₂、A₃相互独立,P(A₁)=0.4,P(A₂)=0.5,P(A₃)=0.6.

    客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3,相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0,所以ξ的可能取值为1、3.

    P(ξ=3)=P(A₁·A₂·A₃)+P(··)

    =P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()P()P()

    =2×0.4×0.5×0.6=0.24,

    P(ξ=1)=1-0.24=0.76.

    所以ξ的分布列为

ξ	1	3
P	0.76	0.24

    Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

(2)解法一:因为f(x)=(x-ξ)²+1-ξ²,

    所以函数f(x)=x²-3ξx+1在区间［ξ,+∞)上单调递增.

    要使f(x)在［2,+∞)上单调递增,

    当且仅当ξ≤2,即ξ≤.

    从而P(A)=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76.

解法二:ξ的可能取值为1、3.

    当ξ=1时,函数f(x)=x²-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增;

    当ξ=3时,函数f(x)=x²-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增.

    所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.