Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥中,底面,四边形中, ,, ,,E为中点.

（1）求证：CD⊥面PAC；（2）求:异面直线BE与AC所成角的余弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析  （2） 90°

【解析】

试题分析：（1）（6分）   

∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD        ∴PA⊥CD       2分

∵,，且 AB=BC=2

∴∠ABC=90°，AC=2，∠CAD=45°

∵AD=4          ∴CD=2

∵CD²+AC²=AD²            ∴AC⊥CD                4分

∵AC∩PA=A              ∴CD⊥面PAC         6分

（2）（6分）解：

方法一：以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

则A（0,0,0），B（2,0，0），C（2,2,0），P（0,0,2）          2分

∵E是PC中点

∴E（1,1,1）           

                  4分

∵

∴BE⊥AC        ∴BE与AC所成的角为90°    6分

方法二：作AC中点O，连结EO

∵E、O分别是PC、AC中点

∴EO//PA

∵PA⊥面ABCD        ∴EO⊥面ABCD

∴EO⊥AC

可证得ABCG是正方形     ∴AC⊥BO

∵BO∩EO=O          ∴AC⊥面BEO

∴AC⊥BE        ∴BE与AC所成的角为90°

方法三：作PD中点F，AD中点G

∵AD2BC，AG=GD   

∴四边形ABCG是正方形，且BG//CD   ∴BO

∵EF是△PCD的中位线    ∴EF

∴EFBO        ∴BEFO

∴BE与AC所成的角等于OF与AC所成的角

PB=2，BC=2，PC=         ∴PB⊥BC

∵E是PC中点        ∴BE=

PD=     ∴AF=

∵AO=，OF=BE=，AF=   ∴∠AOF=90°  即BE与AC所成的角为90°

考点：考查线面垂直的判定和异面直线所成角的求解

点评：立体几何的求解有两大思路。其一：几何法，依据线面的位置关系，长度关系推理计算：其二，代数法，利用空间坐标系，点的坐标转化为向量运算