Question

【题目】已知数列，其中．

（1）若满足．

①当，且时，求的值；

②若存在互不相等的正整数，满足，且成等差数列，求的值．

（2）设数列的前项和为，数列的前n项和为，，，若，，且恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①8②1；（2）5

【解析】

（1）①由递推公式直接计算；②时数列等差数列，满足题意，时，利用累加法求出通项（用表示），假设存在，由判断出只有，故此时无解，从而得；

（2）根据得的递推关系，注意验证也满足，再由得的递推关系，然后变形为，从而时，此式值为5，再计算时，，可得最小值为5．

（1）由，，，累加得

（2）①因，所以，，，当时，，满足题意；

当时，累加得，所以

若存在满足条件，化简得，即，

此时（舍去）

综上所述，符合条件的值为1

（2）由可知,两式作差可得：，又由，可知故，所以对一切的恒成立

对，两式进行作差可得,

又由可知，故

又由

,所以 ，

所以当时,当时,故的最小值为