Question

对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。

（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；

（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求 的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。

Answer 1

（1），（2）（3）见解析

解析:

（1）由不动点的定义：，∴…….1’

代入知，又由及知。……………………...2’

     ∴，。   …………………………....................1’

（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。...........1’

∴中，

即恒成立。………………………....................2’

故，∴。………….........................2’

故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。  ………...................1’

（3）是R上的奇函数，则，∴（0，0）是函数的不动点。  ……..................1’

若有异于（0，0）的不动点，则。

又，∴是函数的不动点。

∴的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，         ..........................4’

所以有个（），加上原点，共有个。即必为奇数