Question

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=

2

a

，∠BAC=120°，若

AO

=x

AB

+y

AC

，则x+y的最小值是

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2a，0），C（-

1

a

，

3

a

），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=a上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-

1

2a

，

3

2a

），AC的斜率为tan120°=-

3

，
∴中垂线n的方程为 y-

3

2a

=

3

3

（x+

1

2a

）．
把直线 m和n 的方程联立方程组

x=a y- 3 2a = 3 3 (x+ 1 2a )

，
解得△ABC的外心O（a，

3

3

a+

2 3

3a

），
由条件

AO

=x

AB

+y

AC

，得（a，

3

3

a+

2 3

3a

）
=x（2a，0）+y（-

1

a

，

3

a

）=（2ax-

y

a

，

3 y

a

），
∴

a=2ax- y a 3 a 3 + 2 3 3a = 3 y a

，解得x=

2

3

+

1

3a2

，y=

a2

3

+

2

3

，
∴x+y=

2

3

+

1

3a2

+

a2

3

+

2

3

=

4

3

+

1

3

（

1

a2

+a2）≥

4

3

+

1

3

×2=2．
当且仅当a=1时取等号．
故答案为：2．

点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．