Question

【题目】（本小题满分12分）已知椭圆：与抛物线：有相同焦点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于抛物线的焦点为，得到，又得到．

（Ⅱ）思路一：设，，

直线的方程为即且过点

，

切线方程为

由，设直线的方程为，联立方程组

由，消整理得

设，，应用韦达定理

得，由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得

思路二：，由已知可知直线的斜率必存在，设直线

由消去并化简得

根据直线与抛物线相切于点．得到，．

根据切点在第一象限得；由∥，设直线的方程为

由，消去整理得， 思路同上．

试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，

，又

椭圆方程为． 4分

（Ⅱ）（法一）设，，

直线的方程为即且过点

，

切线方程为 6分

因为，所以设直线的方程为，

由，消整理得 7分

，解得 ①

设，，则

∴

8分

直线的方程为，

点到直线的距离为 9分

， 10分

由①，

（当且仅当即时，取等号）

最大

所以，所求直线的方程为：． 12分

（法二），由已知可知直线的斜率必存在，

设直线

由 消去并化简得

∵直线与抛物线相切于点．

∴，得． 5分

∵切点在第一象限．

∴ 6分

∵∥

∴设直线的方程为

由，消去整理得， 7分

，解得．

设，，则

，

． 8分

又直线交轴于

10分

当，即时，． 11分

所以，所求直线的方程为． 12分