Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求点E到平面ACD的距离；
（III）求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，结合已知条件，根据勾股定理即可得到答案．
（II）以O为原点，以OB，OC，OA方向为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系，求出平面ACD的法向量的坐标，根据点E到平面ACD的距离h=，可求出点E到平面ACD的距离；
（III）结合（II）中结论，再由AO⊥平面BCD，即为平面BCD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-CD-B的余弦值．
解答：证明：（I）△ABD中，∵AB=AD=，O是BD中点，BD=2
∴AO⊥BD且 =1
△BCD中，连接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且
△AOC中AO=1，CO=，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD．（5分）
解：（II）如图建立空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为=（x，y，z）则

即．（7分）

令y=1得=（-，1，）是平面ACD的一个法向量．．（8分）
又=（-，，0）
∴点E到平面ACD的距离h==．（10分）
（III）∵AO⊥平面BCD
∴=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量；
∴cos＜，＞==
则二面角A-CD-B的余弦值为．（14分）
点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题．