Question

（本题满分15分）

如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．

（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；

（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当

线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．

Answer 1

（本题满分15分）

解：（1）由已知，，直线．

设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（4，）．

由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（4，3）．………………………4分

所以，．

．……………………………………7分

（用余弦定理也可求得）

（2）设圆的方程为，将A，F，N三点坐标代入，得

∵ 圆方程为，令，得．…11分

设，则．

由线段PQ的中点坐标为（0，9），得，．

此时所求圆的方程为．………………………………………15分

（本题用韦达定理也可解）

（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），

得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．…………………………………… 11分

易求得圆的半径为，………………………………………………………………13分

所以，所求圆的方程为．……………………………………… 15分