Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用偶函数的定义可得b=0，利用函数过点（2，5），可得c=1，进而得到解析式；
（Ⅱ）先求函数g（x）的导函数g′（x），再将曲线y=g（x）有斜率为0的切线问题转化为g′（0）=0有实数解问题，最后利用一元二次方程根的性质求得a的范围即可；
（Ⅲ）先利用已知极值点计算a的值，进而解不等式g′（x）＞0得函数的单调递增区间，g′（x）＜0得函数的单调递减区间，再由极值定义计算函数的极大值和极小值即可

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
故f（-x）=f（x），
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c 解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），
得2²+c=5，有c=1
∴b=0，c=1
（Ⅱ）∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a．从而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．
即3x²+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a²-12≥0解得 a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）   
所以实数a的取值范围：a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）
（Ⅲ）∵x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2，
∴g（x）=x³+2x²+x+2．
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-

1

3

当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当x∈（-1，-

1

3

）时，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-

1

3

）上为减函数
当x∈（-

1

3

，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-

1

3

，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，导数的几何意义及其应用，导数在求函数的单调性中的应用，转化化归的思想方法．