Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中点．求证：
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质，可得到O是BD的中点，在△PBD中利用中位线定理，得到EO∥PD，结合线面平行的判定定理，可证出EO∥平面PCD；
（2）根据PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，结合面面垂直的判定定理，可证出平面PBO⊥平面PAC．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中点，
又∵E是PB的中点，∴EO是△PBD的中位线，可得EO∥PD．     …（2分）
∵EO?平面PCD，PD?平面PCD，
∴EO∥平面PCD．         …（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，…（8分）
又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
∵PA∩AC=A，PA、AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…（12分）
又∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．…（14分）

点评：本题给出一个特殊四棱锥，叫我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了空间线面垂直的判定与性质和线面平行的判定定理等知识，属于基础题．