Question

【题目】已知数列中，对任何正整数n都有:

（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；

（2）若数列是首项为1的等比数列，数列是否是等差数列？若是请求出通项公式.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列.

【解析】

（1）根据等差数列的性质求得数列的通项公式，代入中，利用错位相减法，结合数列的项与和的关系求得，进而推断数列是首项为1，公比为2的等比数列；

（2）设等比数列的公比为，结合首项为1，代入，整理得到，进而求得的表达式，要使是与无关的常数，必须，进而得出结论当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列.

（1）依题意数列的通项公式是，

故等式即为，

，

两式相减得，验证时也成立，

可求得，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；

（2）设等比数列的公比为，则，

从而有，

，

所以，

，

要使是与无关的常数，必需，

即当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；

当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列.