Question

如图所示,设抛物线方程为x²=2py (p＞0),M为直线y=-2p上任意一点,过M 

引抛物线的切线,切点分别为A,B.

(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；

(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.

Answer 1

（1）证明略（2）抛物线方程为x²=2y或x²=4y.     

解析:

(1)证明  由题意设A,B,x₁＜x₂,

M.

由x²=2py得y=,则y′=,

所以k_MA=,k_MB=.                                                                                 2分

因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x₀),

直线MB的方程为y+2p=(x-x₀).

所以,+2 p = (x₁-x₀),                                                                 ①

+2 p =(x₂-x₀).                                                                          ②           5分

由①、②得=，

因此，x₀=，即2x₀=.

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.                                                               8分

（2）解  由（1）知，当x₀=2时，

将其代入①、②，并整理得：

x-4x₁-4p²=0，x-4x₂-4 p ²=0，

所以，x₁、x₂是方程x²-4x-4 p ²=0的两根，                                                             10分

因此，x₁+x₂=4，x₁x₂=-4 p ²，

又k_AB===，

所以k_AB=.                                                                                                    12分

由弦长公式得

|AB|=

=.

又|AB|=4，所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为x²=2y或x²=4y.                                                                    16分