Question

【题目】如图，正方体的棱长为，其中为底面的中心，，分别为，的中点，平面与底面交于直线.

（1）求证：.

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)先利用面面平行的判定定理证明面面,再根据面面平行的性质定理可证;

(2)根据以及体积公式可求得点到平面的距离.

（1）解：如图所示，

连接、，

∵为正方形的中心，∴为中点，

又∵为的中点，∴为△的中位线，∴.

又∵面，面，∴面，

因为，且，∴为平行四边形，

∴，且，

又∵，且，∴，且，

∴为平行四边形，所以.

又∵面，面，∴面，

又∵面，且，∴面面，

又∵面面，面面，

∴.

（2）设点到面的距离为，连接、，

如图所示:

∵正方体的棱长为，且为中点，

∴，

同理可求，，

∴，

∴，

∵，且，∴，

又∵面，且，∴，

又∵，∴，

∴点到面的距离为.