Question

已知f（x）=（x-1）²（x＞1）的反函数是f^-1（x），且不等式在上恒成立，则m的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：可依据题设中的条件求出f^-1（x），代入不等式，构造出函数g（x）=，，求出其在上的最值，转化出关于m的不等式，求其取值范围．
解答：由已知f（x）=（x-1）²（x＞1）的反函数是f^-1（x），故f^-1（x）=1+
故不等式可变为1+≥，
即（1+m）≥m²-1，即（1+m）≥（m+1）（m-1）
若m=-1时显然成立
若m＞-1时，则有≥m-1在上恒成立，所以≥m-1，得m≤，故有-1＜m≤
当m＞-1时，则有≤m-1在上恒成立，此时m无解
综上知m∈
故选 A．
点评：本题考点是反函数，考查由反函数求函数的解析式，及利用函数的最值求不等式恒成立时参数的范围，不等式恒成立求参数的范围，常借用函数的最值来研究，请注意体会此类题解题的规律与技巧．本题中易错误认为不等式右边的最大值小于左边f^-1（x）的最小值，此为忽视不等式两边函数定义域相同，两边最值互相影响所致，做题时要注意正确转化莫出现此类错误．