【题目】某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数
依次为1，2，3，…，8，其中
为标准
， 
为标准
．已知甲车间执行标准
，乙车间执行标准
生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲车间的等级系数
的概率分布列如下表，若
的数学期望E(X1)=6.4，求
， 
的值；
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
|
|
|
（2）为了分析乙车间的等级系数
，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数
的概率分布列和均值；
（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准
的概率．
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【题目】在平面直角坐标系
中，抛物线
的顶点是原点，以
轴为对称轴，且经过点
.
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）设点
， 
在抛物线
上，直线
， 
分别与
轴交于点
， 
， 
.求直线
的斜率.
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【题目】某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
售出水量 | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入 | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．
（1）若
与
成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？
（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为
，获二等奖学金的概率均为
，不获得奖学金的概率均为
，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和
的分布列及数学期望；
附：回归方程
，其中
．
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【题目】四棱台被过点
的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形
是边长为2的菱形，
，
平面，
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）若
与底面所成角的正切值为2，求二面角
的余弦值.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，
、
分别为椭圆
的左、右顶点，点
满足
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线
经过点
且与交于不同的两点
、
，试问：在
轴上是否存在点
，使得直线 
与直线
的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数， 
），以原点
为极点， 
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）求曲线
与
的直角坐标方程；
（2）当
与
有两个公共点时，求实数
的取值范围．
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【题目】已知动点
到定点
的距离比
到定直线
的距离小1.
（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
任意作互相垂直的两条直线
，分别交曲线
于点
和
.设线段
， 
的中点分别为
，求证：直线
恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
面积的最小值.
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