海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为
轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里
处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发
小时后，失事船所在位置的横坐标为
（1）当
时，写出失事船所在位置
的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向
(若确定方向时涉及到的角为非特殊角，用符号及其满足的条件表示即可)
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
（1）
=3，救援船速度的大小为
海里/时，救援船速度的方向为北偏东的角度为∠OAP，且满足tan∠OAP=
（∠OAP为锐角）（2）救援船的时速至少是25海里才能追上失事船
【解析】
试题分析：（1）
时，P的横坐标
=
，代入抛物线方程
中，得
P的纵坐标=3.
由|AP|=
，得救援船速度的大小为海里/时.
由tan∠OAP=
，故救援船速度的方向为北偏东的角度为∠OAP，且满足tan∠OAP=（∠OAP为锐角）. ……7分
（2）设救援船的时速为
海里，经过
小时追上失事船，此时位置为
.
由
，整理得
.
令
，
所以
，即
.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……15分
考点：本小题主要考查利用基本不等式求解实际问题中的最值问题，考查学生从实际问题向数学模型转化的能力和运算求解能力.
点评：解决实际问题的关键在于从实际问题中抽象出数学模型.
同步练习强化拓展系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：| 12 | 49 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图．现假设：| 12 | 49 |
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科目：高中数学 来源：2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷解析版） 题型：解答题
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发
小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当
时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
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科目：高中数学 来源：2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷解析版） 题型：解答题
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发
小时后，失事船所在位置的横坐标为
.
（1）当
时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
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