Question

已知双曲线C的中心在坐标原点O，两条准线的距离为，其中一个焦点恰与抛物线x ² + 10 x 4 y + 21 = 0的焦点重合。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若P为C上任意一点，A为双曲线的右顶点，通过P、O的直线与从A所引平行于渐近线的直线分别交于Q、R。试证明：| OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。

Answer 1

解析：（1）由x ² + 10 x 4 y + 21 = 0，得 ( x + 5 ) ² = 4 ( y + 1 )，焦点为 ( 5，0 )，∴ c = 5，

又=，∴ a ² = 16，a = 4，b = 3，∴ 双曲线C的方程为：= 1；

（2）∵ A ( 4，0 )，∴ 从A所引平行于渐近线的直线分别

为y = ±( x 4 )，设P ( x ₀，y ₀ )，则9 x 16 y= 144，OP：y =x，

得Q(x ₀，y ₀ )，R(x ₀，y ₀ )，则| OQ | ∙ | OR |

==( x+ y) = x+ y= | OP | ²，

∴ | OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。