Question

18、已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，g（x）=12x-4，若f（-1）=0，且f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y=g（x）．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）把x=-1代入f（x）中化简得到a，b和c的等式记作①，然后求出f（x）的导函数，因为g（x）为f（x）的图象在（1，f（x））处的切线，所以得到f（1）等于g（1），即可得到f（1）的值，把x=1代入f（1）得到一个等式记作②，然后根据g（x）的斜率求出f′（1）的值，把x=1代入导函数中得到又一个等式记作③，联立①②③，即可求出a，b和c的值；
（2）把（1）中求出的a，b和c的值代入到f（x）中得到f（x）的解析式，然后把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x）中得到h（x）的解析式，求出h（x）的导函数，令导函数大于0列出关于x的不等式即可求出x的范围即为函数的增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的减区间．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴-1+a-b+c=0①，
由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b，
又∵f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=g（x）=12x-4，
∴f（1）=g（1）=12-4=8，且f′（1）=12，即a+b+c=7②，2a+b=9③，
联立方程①②③，解得：a=3，b=3，c=1；
（2）把（1）求得的a，b，c的值代入得f（x）=x³+3x²+3x+1，
∵h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²-9x+5，
∴h′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
由h′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1；由h′（x）＜0，解得-3＜x＜1，
∴h（x）的单调增区间为：（-∞，-3）和（1，+∞）；单调减区间为：（-3，1）．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的增减性得到函数的单调区间，是一道中档题．