Question

动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A´：(x－)²＋y²＝12相切．

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】

试题分析：解：(1)A´(，0)，依题意有|MA´|＋＝2  1分

|MA´|＋|MA|＝2 ＞2                    3分

∴点M的轨迹是以A´、A为焦点，2为长轴上的椭圆，   4分

∵a＝，c＝ ∴b²＝1．                 5分

因此点M的轨迹方程为                 6分                

(2)设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：

(k²＋3)y²－4k²y＋4k²－3＝0                       8分

由△＞0得16k⁴－(4k²－3)(k²＋3)＞0 0≤k²＜1    9分

设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，则y₁＋y₂＝，y₁y₂＝   10分

又＝(x₁，y₁－2)，＝(x₂，y₂－2)

∴·＝x₁x₂＋(y₁－2)(y₂－2)＝k(y₁－2)·k (y₂－2) ＋(y₁－2)(y₂－2)＝(1＋k²)＝       12分

∵0≤k²＜1 ∴3≤k²＋3＜4                 13分

∴·∈                            14分

考点：向量的数量积以及直线与椭圆的位置关系

点评：主要是考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的运用，属于基础题。