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    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，，，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

    （1）求的普通方程及的直角坐标方程；

    （2）若曲线与曲线分别交于点，，求的最大值．

    【答案】（1）：，：；（2）

    【解析】

    （1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，并代入可得出曲线的直角坐标方程；

    （2）由曲线的参数方程得出其极坐标方程为，并设点、的极坐标分别为、，将曲线的极坐标方程分别代入曲线、的表达式，求出、
    关于的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出的最大值。

    （1）由消去参数得的普通方程为：；

    由得，得的直角坐标方程为：，

    即．

    （2）的极坐标方程为：，的极坐标方程为：

    将分别代入，的极坐标方程得：，，

    ．

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    【题目】已知函数， .

    （1）求过点的的切线方程；

    （2）当时，求函数在的最大值；

    （3）证明：当时，不等式对任意均成立（其中为自然对数的底数， ）.

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    【题目】某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．

    (Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；

    (Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．

    (ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

    (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？

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    【题目】已知函数.

    （1）讨论的单调性；

    （2）设，若且有两个零点，求的取值范围.

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    【题目】一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间（分钟）和答对人数的统计表格如下：

    时间（分钟）

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    答对人数

    98

    70

    52

    36

    30

    20

    15

    11

    5

    5

    1.99

    1.85

    1.72

    1.56

    1.48

    1.30

    1.18

    1.04

    0.7

    0.7

    时间与答对人数的散点图如图：

    附：，，，，，对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.请根据表格数据回答下列问题：

    （1）根据散点图判断，与，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）

    （2）根据（1）的判断结果，建立与的回归方程；（数据保留3位有效数字）

    （3）根据（2）请估算要想记住的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍.（参考数据：，）

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    【题目】某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）.

    （1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.

    （2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从正态分布，其中近似为样本平均数.

    （ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）.

    （ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.

    方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：时，奖励50元；，奖励80元；时，奖励120元.

    方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为

    奖金

    50

    100

    概率

    小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？

    附：若，则，.

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    【题目】已知函数，，其中是自然对数的底数．

    （Ⅰ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；

    （Ⅱ）若，求证：．

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    【题目】已知斜率存在且不为0的直线过点，设直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为.

    （1）若的面积为，求直线的方程；

    （2）若直线分别交直线于点，且，记直线的斜率分别为.探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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    【题目】已知函数，的最大值为.

    （Ⅰ）求实数的值；

    （Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；

    （Ⅲ）当时，令，是否存在区间.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.

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