Question

已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=

2

3

π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c=

3

，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=

2

3

π，cosC=-

1

2

，可得

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，恒等变形得 c²-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，BC=2sin(

π

3

-θ)．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sin(θ+

π

3

)+

3

．再由θ∈(0，

π

3

)，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．
又∵∠MCN=

2

3

π，cosC=-

1

2

，
∴

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，∴

(c-4)2+(c-2)2-c2

2(c-4)(c-2)

=-

1

2

，
恒等变形得 c²-9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

=

AB

sin∠ACB

，
∴

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

=2，AC=2sinθ，BC=2sin(

π

3

-θ)．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin(

π

3

-θ)+

3

=2[

1

2

sinθ+

3

2

cosθ]+

3

=2sin(θ+

π

3

)+

3

，…（10分）
又∵θ∈(0，

π

3

)，∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

2π

3

，
∴当θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

6

时，f（θ）取得最大值2+

3

．  …（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．