Question

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|-|x-1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由 ，解得实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，当时，不等式为-x-2≤2，解得．（1分）
当时，不等式为 3x≤2，解得．（2分） 当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）
综上，不等式的解集为．（5分）
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|-|x-1|=，
故，即f（x）的最小值为．（8分）
所以，当f（x）≤log₂a有解，则有 ，解得，即a的取值范围是．（10分）
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．