Question

与向量、圆交汇．例5：已知F₁、F₂分别为椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线C₂的定义得y₀，进而得点M的坐标，代入椭圆的方程可得a，b的值；
（2）由设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），由

AP

=-λ

PB

可得：（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）．

解答：解：（1）由C₂：x²=4y知F₁（0，1），设M（x₀，y₀）（x₀＜0），因M在抛物线C₂上，
故x₀²=4y₀①
又|MF1|=

5

3

，则y0+1=

5

3

②，由①②解得x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

．而点M椭圆上，
故有

( 2 3 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1，即

4

9a2

+

8

3b2

=1③，又c=1，则b²=a²-1④
由③④可解得a²=4，b²=3，∴椭圆C₁的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由

AP

=-λ

PB

可得：（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），即

x1-λx2=1-λ? ⑤ y1-λy2=3(1-λ) ⑥

由

AQ

=λ

QB

可得：（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即

x1+λx2=(1+λ)x ⑦ y1+λy2=(1+λ)y ⑧

⑤×⑦得：x₁²-λ²x₂²=（1-λ²）x，⑥×⑧得：y₁²-λ²y₂²=3y（1-λ²）
两式相加得（x₁²+y₁²）-λ²（x₂²+y₂²）=（1-λ²）（x+3y）
又点A，B在圆x²+y²=3上，且λ≠±1，所以x₁²+y₁²=3，x₂²+y₂²=3
即x+3y=3，∴点Q总在定直线x+3y=3上．

点评：本题巧妙地将向量、圆、直线、椭圆与抛物线交汇在一起．充分体现了实施新课标后，高考对圆锥线的考查方向与特色--注重直观（数形结合）与整体运算（降低运算量）．