Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1,S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1(n≥2且n∈N^*).

   （1）求证：数列{a_n}是等比数列；

   （2）若b_n=n a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n ；

   （3）若c_n=tⁿ[n(lg3+lgt)+lga_n+1](t＞0),且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项, 求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）。

∴{a_n}是以为公比的等比数列。        

   （2）由（1）得， 则

∴ ，    ……①

∴，  ……②

①－②得，

∴。 

   （3）。

由题意 ＞0 （n=1，2，3，…）恒成立，

即＞0.对任意自然数n都成立。

∵t＞0，  ∴tⁿ＞0。

①当t＞1时，则lgt＞0，（n+1）t－n＞0对任意n恒成立，

∴ ∴t＞1。