Question

已知关于x的方程9^x+m·3^x+6=0（其中m∈R）。
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程没有实数根，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）当m=-5时，方程即为9^x-5·3^x+6=0，
令3^x=t（t>0），方程可转化为t²-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3^x=2得x=log₃2，
由3^x=3得x=1，
故原方程的解为1，log₃2。
（2）令3^x=t（t>0）
方程可转化为t²+mt+6=0①
要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根
当方程①没有实数根时，需Δ=m²-24＜0，
解得-2＜m＜2；
当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，
这时应有，解得m≥2
综上，实数m的取值范围为m>-2。