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    设b＞0,椭圆方程为=1,抛物线方程为x2=8(y-b).如图6所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.

    图6

    (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.

    (2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

    本题主要考查椭圆、抛物线的概念,椭圆、抛物线的方程等基础知识,数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力.

    解：(1)由x2=8(y-b)得y=+b.

    当y=b+2时,x=±4,

    则G点的坐标为(4,b+2).

    于是抛物线x2=8(y-b)在点G的切线的l的斜率k==1,

    切线l的方程为y=x+b-2.

    由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，

    又切线l经过椭圆的右焦点F1

    ∴由0=b+b-2,解得b=1.

    因此满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为+y2=1和x2=8(y-1).

    (2)抛物线上存在点P，使得△ABP为直角三角形，这样的点共有4个.

    ①分别过A，B作x轴的垂线，与抛物线分别交于两点P1（-，）和P2（，），则△ABP1和△ABP2都是直角三角形.

    ②以原点为中心，|AB|=为半径作圆周，由于圆周半径大于椭圆的半短轴长1，且椭圆与抛物线仅交于一点，所以上述圆周必与抛物线相交于两点P3和P4.

    则△ABP3和△ABP4都是直角三角形.

    因为P1A与圆相切于点A，而P3在圆周上，

    所以P3与P1不重合，同理P4与P2不重合.

    故P1、P2、P3和P4是两两互不相同的点.

     


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    图4

    (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.

    (2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

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