Question

设m＞3，对于有穷数列{a_n}（n=1，2，3…，m），令b_k为a₁，a₂…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．数{b_n}中不相等项的个数称为{a_n}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数1，2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{c_n}；
（Ⅱ） 是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{c_n}，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{c_n}中，求它们的首项的和．

Answer 1

分析：（I）根据b_k为a₁，a₂…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”，可得数列3，4，1，5，2与数列3，4，2，5，1的“创新数列”为3，4，4，5，5；
（II）设数列{c_n}的创新数列为{e_n}（n=1，2，3…，m），{e_n}为等差数列，设其公差为d，讨论d=0，d=1，以及当d=2时，因为e_m=e₁+（m-1）d=2m-2+e₁，又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，这与e_m=m矛盾，所以此时{e_n}不存在，即不存在{c_n}使得它的创新数列为d=2的等差数列，从而得到结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e_m=m，由题意，得e₁=c₁，所以当数列{c_n}的创新阶数为2时，{e_n}必然为c₁，c₁，…c₁，m，m…m（其中c₁＜m）由排列组合知识，得创新数列为k，k，…，k，m，m…，m的符合条件的{c_n}的个数，在创新阶数为2的所有数列{c_n}中，它们的首项的和为

m-1

k=1

k

(m-1)!

m-k

=（m-1）!

m-1

k=1

k

m-k

．

解答：（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3，4，4，5，5的数列{c_n}有两个，即：
（1）数列3，4，1，5，2；---------------------------（2分）
（2）数列3，4，2，5，1．---------------------------（3分）
注：写出一个得（2分），两个写全得（3分）．
（Ⅱ）答：存在数列{c_n}，它的创新数列为等差数列．
解：设数列{c_n}的创新数列为{e_n}（n=1，2，3…，m），
因为e_m为c₁，c₂，…c_m中的最大值．
所以e_m=m．
由题意知：e_k为c₁，c₂，…c_k中最大值，e_k+1为c₁，c₂，…c_k+1中最大值，
若{e_n}为等差数列，设其公差为d，则d，e_k+1，e_k，0，-----------（5分）
当d=0时，{e_n}为常数列，又e_m=m，
所以数列{e_n}为m，m，m，…，m，此时数列{c_n}是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时，因为e_m=m，
所以数列{e_n}为1，2，3…，m，此时数列{c_n}是1，2，3…，m；-----------（7分）
当d=2时，因为e_m=e₁+（m-1）d=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，
这与e_m=m矛盾，所以此时{e_n}不存在，即不存在{c_n}使得它的创新数列为d=2的等差数列．
综上，当数列{c_n}为：（1）首项为m的任意符合条件的数列；
（2）数列1，2，3…，m时，它的创新数列为等差数列．---------------------------（9分）
注：此问仅写出结论（1）（2）者得（2分）．
（Ⅲ）解：设{c_n}的创新数列为{e_n}（n=1，2，3…，m），
由（Ⅱ）知，e_m=m，
由题意，得e₁=c₁，
所以当数列{c_n}的创新阶数为2时，{e_n}必然为c₁，c₁，…c₁，m，m…m（其中c₁＜m），---------------------（10分）
由排列组合知识，得创新数列为k，k，…，k，m，m…，m的符合条件的{c_n}的个数为
C_m-1^m-kA_m-k-1^m-k-1A_k-1^k-1=

1

m-k

A

m-k m-1

A

k-1 k-1

=

1

m-k

(m-1)!，----------------（12分）
所以，在创新阶数为2的所有数列{c_n}中，它们的首项的和为

m-1

k=1

k

(m-1)!

m-k

=（m-1）!

m-1

k=1

k

m-k

．---------------------------（14分）

点评：本题主要考查了创新数列的定义，以及分类讨论的思想和排列组合等知识，对于学生有很大的难度，属于难题．