Question

【题目】如图，在三棱柱中，， .

(I)求证：;

(II)在棱 上取一点 M, ,若与平面所成角的正弦值为，求.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（I）由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结果；(II)取的中点为,根据面面垂直的性质，结合等腰三角形的性质可证明，两两垂直，以，

的正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，求出，由（1）知平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.

（I）证明：由题意知四边形是菱形，

则，如图，设，

连接,易求得，又为的中点，

所以,

又，

所以，

所以

(II)解：如图所示，取的中点为,

则由,

得,

又平面,

平面,

所以，

又,所以，

以为原点，的正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，

则

,设，则由,

得所以，

由（1）知平面的一个法向量为

所以,

解得或-1(负值舍去)，

所以