Question

已知函数。
（1）若的单调增区间是（0，1）求m的值。
（2）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。

Answer 1

（1）；（2）由。

试题分析：（1）先求出导函数f'（x），根据函数f（x）在区间(0， )上单调递增，在区间( ，1)上单调递减，可知x=是函数的极值，从而f'（）=0，解之即可求出m的值；
（2）本小问可转化成f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在区间[-1，1]恒成立，即3mx²-6（m+1）x+6＞0在区间[-1，1]恒成立，将x=-1和x=1代入使之成立，即可求出m的范围
（1）

的解集为（0，1），
则0，1是关于x的方程的两根

（2）由已知，当

又m<0，要使上恒成立
只需满足
点评：解决该试题的关键是利用导数得到函数的单调去甲，以及函数的极值，进而得到从那数m的值，同时对于恒成立问题的转化思想的运用，求解最值得到参数的范围。