Question

（2013•东城区一模）已知向量

OA

，

AB

，O是坐标原点，若|

AB

|=k|

OA

|，且

AB

方向是沿

OA

的方向绕着A点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称

OA

经过一次（θ，k）变换得到

AB

．现有向量

OA

=（1，1）经过一次（θ₁，k₁）变换后得到

AA1

，

AA1

经过一次（θ₂，k₂）变换后得到

A1A2

，…，如此下去，

An-2An-1

经过一次（θ_n，k_n）变换后得到

An-1An

．设

An-1An

=（x，y），θn=

1

2n-1

，kn=

1

cosθn

，则y-x等于（　　）

• A．

  2sin[2-( 1 2 )n-1]

  sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

• B．

  2sin[2-( 1 2 )n-1]

  cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

• C．

  2cos[2-( 1 2 )n-1]

  sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

• D．

  2cos[2-( 1 2 )n-1]

  cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

Answer 1

分析：根据题意，可得（θ₁，k₁）=（1，

1

cos1

），即当n=1时，一次（θ₁，k₁）变换将

OA

逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的

1

cosθ1

倍得到向量

AA1

．因此当

OA

=（1，1）时，运用矩阵变换公式，算出

OA

逆时针旋转1弧度所得向量

a

=（cos1-sin1，sin1+cos1），从而得到

AA1

=（x，y）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1），所以y-x=

2sin1

cos1

．接下来再对A、B、C、D各项在n=1时的情况进行计算，对照所得结果可得只有B项是正确的选项．

解答：解：根据题意，θ1=

1

21-1

=1，k1=

1

cosθ1

=

1

cos1

∴一次（θ₁，k₁）变换就是将向量

OA

逆时针旋转1弧度，
再将长度伸长为原来的

1

cos1

倍，
即

AA1

由

OA

逆时针旋转1弧度而得，且|

AA1

|=

1

cos1

|

OA

|
设向量

OA

逆时针旋转1弧度，所得的向量为

a

=（x'，y'）
则有

cos1 -sin1 sin1 cos1

•

1   1

=

x′   y′

，
∴

x′=cos1-sin1 y′=sin1+cos1

，即向量

OA

逆时针旋转1弧度，
得到向量

a

=（cos1-sin1，sin1+cos1），再将

a

的模长度伸长为原来的

1

cos1

倍，
得到

AA1

=

1

cos1

（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1）
因此当n=1时，

AA1

=（x，y）=（1-

sin1

cos1

，

sin1

cos1

+1）
即

x=1- sin1 cos1 y= sin1 cos1 +1

，由此可得y-x=

sin1

cos1

+1-（1-

sin1

cos1

）=

2sin1

cos1

对于A，当n=1时

2sin[2-( 1 2 )n-1]

sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

=

2sin[2-( 1 2 )0]

sin1

=

2sin1

sin1

=2，与计算结果不相等，故A不正确；
对于B，当n=1时

2sin[2-( 1 2 )n-1]

cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

cos1

=

2sin1

cos1

，与计算结果相等，故B正确；
对于C，当n=1时

2cos[2-( 1 2 )n-1]

sin1sin 1 2 …sin 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

sin1

=

2cos1

sin1

，与计算结果不相等，故C不正确；
对于D，当n=1时

2cos[2-( 1 2 )n-1]

cos1cos 1 2 …cos 1 2n-1

=

2cos[2-( 1 2 )0]

cos1

=

2cos1

cos1

=2，与计算结果不相等，故D不正确
综上所述，可得只有B项符合题意
故选：B

点评：本题给出向量的旋转和伸缩，求向量

OA

=（1，1）经过n变换（θ_n，k_n）后得到的向量坐标，着重考查了向量的线性运算、用矩阵解决向量旋转问题和数列的通项公式等知识，属于中档题．