Question

已知定点，动点P满足条件：，点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若曲线E上存在点C，使，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知，点P的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，从而写出曲线E的方程，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．
（Ⅱ）先设C（x，y），由已知条件中向量关系得到点C的坐标用m来表示的式子，将点C（x，y）的坐标代入双曲线方程求得m的值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴点P的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，
∴曲线E的方程为x²-y²=1（x＜-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入x²-y²=1消去y得（1-k²）x²+2kx-2=0
∴
∴
两边平方整理得28k⁴-55k²+25=0，
∴（∵）
∴
故直线方程为．
（Ⅱ）设C（x，y），由已知，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（mx，my）
∴
∴
∴
将点C（x，y）的坐标代入x²-y²=1得．
∴m=4或m=-4（舍去）．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线定义的应用等基础知识，考查运算求解能力． 当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．