Question

对于命题P：存在一个常数M，使得不等式

a

2a+b

+

b

2b+a

≤M≤

a

a+2b

+

b

b+2a

对任意正数a，b恒成立．
（1）试猜想常数M的值，并予以证明；
（2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数M，使得不等式

a

3a+b

+

b

3b+c

+

c

3c+a

≤M≤

a

a+3b

+

b

b+3c

+

c

c+3a

对任意正数a，b，c恒成立，观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的正确命题（不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）令a=b，得

2

3

≤M≤

2

3

，故M=

2

3

．  先用分析法证明

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

，同理可证明

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

，命题得证．
（2）利用类比推理可得，存在一个常数M，使得不等式

a

4a+b

+

b

4b+c

+

c

4c+d

+

d

4d+a

≤M≤

a

a+4b

+

b

b+4c

+

c

c+4d

+

d

d+4a

对任意正数a，b，c，d恒成立．

解答：解：（1）令a=b，得

2

3

≤M≤

2

3

，故M=

2

3

．  先证明

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a²+b²≥2ab，即证（a-b）²≥0，这显然成立．∴

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

．
再证明

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a²+b²≥2ab，即证（a-b）²≥0，这显然成立．∴

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

．
（2）存在一个常数M，使得不等式

a

4a+b

+

b

4b+c

+

c

4c+d

+

d

4d+a

≤M≤

a

a+4b

+

b

b+4c

+

c

c+4d

+

d

d+4a

对任意正数a，b，c，d恒成立．

点评：办呢题考查用分析法证明不等式，类比推理，找出M的值，是解题的突破口．