Question

【题目】已知二次函数满足：①，有；②；③的图像与x轴两交点间距离为4．

（1）求的解析式；

（2）记，．

①若为单调函数，求k的取值范围；

②记的最小值为，讨论的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①或；②时无零点；时，有4个零点，时，有3个零点，或时，有2个零点

【解析】

（1）设出二次函数解析式，根据已知条件得到二次函数对称轴、与轴交点、根与系数关系，由此列方程组，解方程组求得二次函数解析式

（2）①求得解析式，根据其对称轴与区间的位置关系，求得的取值范围.

②将分成，，三种情况，结合的单调性，求得的表达式，利用换元法：令，即，结合的图像对进行分类讨论，由此求得的零点个数.

（1）设，由题意知对称轴；①

；②

设的两个根为，，则，，

；③

由①②③解得，，，

∴．

（2）①，其对称轴．

由题意知：或，

∴或．

②

1)当时，对称轴，在上单调递增，

，

2)当时，对称轴，，

3)当时，对称轴，在单调递减，

，

∴，

令，即，画出简图，

i）当时，，或0，

∴时，解得，

时，解得，有3个零点．

ii）当时，有唯一解，，

有2个零点．

iii）当时，有两个不同的零点，，

且，，

∴时，解得，

时，解得，有4个不同的零点．

iv）当时，，，

∴有2个零点．

v）当时，无解．

综上所得：

时无零点；

时，有4个零点；

时，有3个零点；

或时，有2个零点．