Question

设a₁，a₂，…，a₂₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0≤k≤19的整数k，数列b1，b2，…，b20由bn=

an+k an+k-20

当1≤n≤20-k时 当20-k＜n≤20时

确定．记M=

20

n=1

anbn．
（I）当k=1时，求M的值；
（II）求M的最小值及相应的k的值．

Answer 1

分析：（1）先根据等比数列的通项公式求得a_n，代入到b_n中，进而把an和bn代入M=

20

n=1

anbn求得M．
（2）根据（1）中的a_n和b_n化简整理M=

20

n=1

anbn=

220-1

3

(2k+

220

2k

).进而利用均值不等式求得M的最小值和此时的k．

解答：解：（I）显然a_n=2^n-1，其中1≤n≤20．
当k=1时，bn=

an+1，?当1≤n≤19时 a1，??n=20时.

所以，M=

20

n=1

anbn=

19

n-1

anan+1+a20a1=

19

n=1

2n-1•2n+219=

19

n=1

22n-1+219
=

2[(22)19-1]

22-1

+219=

239-2

3

+219.
（II）解：M=

20

n=1

anbn=

20-k

n-1

anan+k+a20a1=

20

n=21-k

anan+k-20=

20-k

n=1

2n-1•2n+k-1+

20

n=21-k

2n-1•2n+k-21=

20-k

n=1

22n+k-2+

20

n=21-k

22n+k-22
=2k•

420-k-1

4-1

+220-k•

4k-1

4-1

=

1

3

(240-k-2k)+

1

3

(220+k-220-k)
=

220-1

3

(2k+

220

2k

)≥

220-1

3

•2

220

=

231-211

3

.
当2k=

220

2k

，即k=10时，M=

231-211

3

.
所以，M的最小值为

231-211

3

，此时k=10.

点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．