Question

已知直线l过点（1，

17

8

）且它的一个方向向量为（4，-7），又圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4与圆C₂关于直线l对称．
（Ⅰ）求直线l和圆C₂的方程；
（Ⅱ）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试示所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据直线的方向向量求出直线的斜率，然后求出直线l的方程，根据两个圆的图象关于直线对称，求出对称圆的圆心坐标，写出半径然后求出圆C₂的方程；
（Ⅱ）设P的坐标（m，n），直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，就是圆C₁到直线l₁的距离等于圆C₂到直线l₂的距离．推出（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5，关于k的方程有无穷多解，推出

2-m-n=0 m-n-3=0

或

m-n+8=0 m+n-5=0

求出P的坐标即可．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l的一个方向向量为（4，-7），∴k1=-

7

4

由y-

17

8

=-

7

4

(x-1)，
所以，直线l是方程为：14x+8y-31=0
∵圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4与圆C₂关于直线l对称，设
圆C₂的圆心为（a，b），
则

b-1

a+3

=

4

7

14×

a-3

2

+8×

b+1

2

-31=0解得a=4，b=5
所以圆C₂的方程：（x-4）²+（y-5）²=4
（Ⅱ）设点P（m，n）则直线l₁和l₂，的方程分别为：y-n=k（x-m），y-n=-

1

k

（x-m）
因为直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
所以圆C₁到直线l₁的距离等于圆C₂到直线l₂的距离．
所以

|-3k-1+n-km|

1+k2

=

|- 4 k -5+n+ m k |

1+( 1 k )2

∴（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5
∵关于k的方程有无穷多解，∴

2-m-n=0 m-n-3=0

或

m-n+8=0 m+n-5=0

解得点P的坐标（-

3

2

，

13

2

）或（

5

2

， -

1

2

）

点评：本题是中档题，考查直线的方向向量求直线方程，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型．