Question

如图，在△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D的斜边AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）D为AB上一点，当AD=

1

2

DB时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（Ⅲ）求CD与平面AOB所成最大角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知中，CO⊥AO，BO⊥AO，可得二面角B-AO-C是直二面角，由面面垂直的性质，可得CO⊥平面AOB，结合面面垂直的判定定理，即可得到平面COD⊥平面AOB；
（II）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，解三角形CDE即可求出异面直线AO与CD所成角的正切值；
（III）由（I）的结论，我们可以得到CO⊥平面AOB，即∠CDO是CD与平面AOB所成的角当OD最小时，∠CDO最大，求出满足条件的OD值，代入正切公式，即可得到答案．

解答：解：（I）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，（2分）
∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD．∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．（6分）
在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，∴CE=

CO2+OE2

=

2 10

3

．
又DE=

2

3

AO=

4 3

3

．∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=

CE

DE

=

30

6

．
∴异面直线AO与CD所成角的正切值为

30

6

．（9分）
（ III）由（I）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

．
当OD最小时，∠CDO最大，（11分）
这时，OD⊥AB，垂足为D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tanCDO=

2 3

3

，
∴CD与平面AOB所成最大角的正切值为

2 3

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，在求线线夹角及线面夹角时，关键是要通过转化思想，将空间线线、线面夹角转化为解三角形问题．