Question

（本题满分12分）

已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．

（1）若，求证：曲线是一个圆；

（2）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）设直线与曲线的交点为∴

在上∴，两式相减得∴ 即： ∴曲线是一个圆  

（2）

【解析】

试题分析：（1）证明：设直线与曲线的交点为

∴ 即：

∴                         ……………………2分

在上

∴，

∴两式相减得：         ……………………4分

∴ 即：                  

∴曲线是一个圆                           ……………………6分

（2）设直线与曲线的交点为，

∴曲线是焦点在轴上的椭圆                     

∴ 即：                  

将代入整理得：

∴，      ……………………8分

在上   ∴

又

∴

∴2

∴

∴

∴

∴

∴                 ……………………10分

∴

∴

                                   ……………………12分

考点：椭圆性质及直线与椭圆相交问题

点评：直线与椭圆相交时，常联立方程利用韦达定理求解关于弦长，中点弦及垂直夹角等问题；求椭圆离心率的题目需要转化出关于的方程或不等式