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    以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<a<)，曲线C的极坐标方程为．
    （1）求曲线C的直角坐标方程；
    （2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

    （I） ；（II） 4.

    解析试题分析：（I）利用,易得曲线C的直角坐标方程;（II）直线过点，根据直线的参数方程中的几何意义，知道，将直线的参数方程与抛物线方程联立，利用韦达定理转化为关于a的函数式，求最值即可.
    试题解析：（I）由，得，所以曲线C的直角坐标方程为;
    （II）将直线l的参数方程代入，得，设两点对应的参数分别为，则， ，当时，的最小值为.
    考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的转化 2、直线的参数方程及应用 3、直线与圆锥曲线相交问题的综合应用 4、函数最值.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆长轴的左右端点分别为A，B，短轴的上端点为M，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，｜｜＝1．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）若直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知，椭圆C过点，两个焦点为．
    (1)求椭圆C的方程；
    (2)是椭圆C上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.

    （1）当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
    （2）过点作直线交于点，记的外接圆为圆.
    ①求证:圆心在定直线上；
    ②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆：（）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，，点是右准线上任意一点，过作直 线的垂线交椭圆于点．

    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
    （3）点的纵坐标为3，过作动直线与椭圆交于两个不同点，在线段上取点，满足，试证明点恒在一定直线上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点.
    （1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设椭圆的左右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求动点的轨迹的方程；
    （3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点．直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数．
    （Ⅰ）求的取值范围；
    （Ⅱ）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．
    （Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
    （Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称
    点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

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