Question

已知直线l₀：x-y+2=0和圆C：x²+y²-8x+8y+14=0，设与直线l₀和圆C都相切且半径最小的圆为圆M，直线l与圆M相交于A，B两点，且圆M上存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

=λ

a

，其中

a

=(1 ， 3)．
（1）求圆M的标准方程；
（2）求直线l的方程及相应的点P坐标．

Answer 1

分析：（1）化简圆C为标准方程（x-4）²+（y+4）²=18，求出圆心C（4，-4），半径r₀=3

2

，求出圆心C到直线l₀的距离d₀，推出⊙M的半径r，利用⊙M的圆心M在经过点C（4，-4），与l₀的垂直的直线上，设出圆心M（x₀，-x₀），则由|MC|=r+r₀，解得M坐标，求出M的标准方程．
（2）由

OP

=

OA

+

OB

=λ

a

=（λ，3λ），求出P的坐标，求出k_AB，设直线l：y=-

1

3

x+b，利用圆心M（0，0）到直线l的距离，求出P，得到直线l的方程．

解答：解：（1）∵圆C：x²+y²-8x+8y+14=0，即（x-4）²+（y+4）²=18，
所以圆心C（4，-4），半径r₀=3

2

，圆心C到直线l₀的距离d₀=

|4+4+2|

2

=5

2

，
则⊙M的半径r=

d0-r

2

=

2

，
⊙M的圆心M在经过点C（4，-4），与l₀的垂直的直线上，即在直线y=-x上
设圆心M（x₀，-x₀），则由|MC|=r+r₀=4

2

，解得M（0，0）或（8，-8）
其中只有M（0，0）满足到直线l₀的距离为半径r=

2

，即符合题意
⊙M的标准方程为：x²+y²=2．
（2）由

OP

=

OA

+

OB

=λ

a

=（λ，3λ），即点P（l，3l）代入⊙M：x²+y²=2，，得l=

5

5

，
P（

5

5

，

3 5

5

）或（-

5

5

，-

3 5

5

），且k_OP=3，
∵

OP

=

OA

+

OB

，且|

OP

|=|

OA

|+|

OB

|=r，
∴

OP

⊥

AB

，kAB=-

1

kOP

=-

1

3

，
 设直线l：y=-

1

3

x+b，即x+3y-3b=0，
圆心M（0，0）到直线l的距离d′=

|-3b|

10

=

r

2

=

2

2

，
解得3b=

5

 则当点P（

5

5

，

3 5

5

）时，l：x+3y-

5

=0；
当点P（-

5

5

，-

3 5

5

）时，l：x+3y+

5

=0．

点评：本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心坐标的求法，圆心到直线的距离的求法，考查计算能力，转化思想．