Question

已知数列a_n满足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为a_n1，a_n2，a_n3．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=1；当n≥2，n∈N^*时，a₁+a₂++a_n-1=（n-1）²，由此能求出数列a_n的通项公式．
（2）当k=1时，若存在p，r使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差数列，则

1

ar

=

2

ap

-

1

ak

=

3-2p

2p-1

，再由题设条件分类讨论知当k=1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2满足题设．
（3）作如下构造：an1=(2k+3)2，  an2=(2k+3)(2k+5)，   an3=(2k+5)2，其中k∈N^*，它们依次为数列a_n中的第2k²+6k+5项，第2k²+8k+8项，第2k²+10k+13项，显然它们成等比数列，且an1＜an2＜an3，所以它们能组成三角形．由k∈N^*的任意性，这样的三角形有无穷多个．再用反证法证明其中任意两个三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂不相似．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=1；
当n≥2，n∈N^*时，a₁+a₂++a_n-1=（n-1）²，
所以a_n=n²-（n-1）²=2n-1；
综上所述，a_n=2n-1（n∈N^*）．（3分）
（2）当k=1时，若存在p，r使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差数列，则

1

ar

=

2

ap

-

1

ak

=

3-2p

2p-1

，
因为p≥2，所以a_r＜0，与数列a_n为正数相矛盾，因此，当k=1时不存在；（5分）
当k≥2时，设a_k=x，a_p=y，a_r=z，则

1

x

+

1

z

=

2

y

，所以z=

xy

2x-y

，（7分）
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），此时a_k=x=2k-1，a_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，a_r=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，所以r=4k²-5k+2；
综上所述，当k=1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2满足题设．（10分）
（3）作如下构造：an1=(2k+3)2，  an2=(2k+3)(2k+5)，   an3=(2k+5)2，其中k∈N^*，
它们依次为数列a_n中的第2k²+6k+5项，第2k²+8k+8项，第2k²+10k+13项，（12分）
显然它们成等比数列，且an1＜an2＜an3，an1+an2＞an3，所以它们能组成三角形．
由k∈N^*的任意性，这样的三角形有无穷多个．（14分）
下面用反证法证明其中任意两个三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂不相似：
若三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂相似，且k₁≠k₂，则

(2k1+3)(2k1+5)

(2k1+3)2

=

(2k2+3)(2k2+5)

(2k2+3)2

，
整理得

2k1+5

2k1+3

=

2k2+5

2k2+3

，所以k₁=k₂，这与条件k₁≠k₂相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似．
故命题成立．（16分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意合理地构造函数进行求解．